Около 2010 года на игровой конвенции дизайнер настольных игр Джеймс Эрнест задал своему другу, математику Эрику Харшбаргеру из Обернского университета в Алабаме, необычный вопрос. Он поинтересовался, можно ли создать такой набор игральных костей, чтобы любой участник компании — от двух человек до любого другого количества — мог взять одну из них, бросить и получить абсолютно равные шансы на право первого хода. Условие было жёстким: ничьи и повторные броски исключались.
В тот вечер Харшбаргер не нашёл ответа, но вопрос запал ему в душу. На протяжении последующих пятнадцати лет он вместе с сетью коллег периодически возвращался к тому, что стало известно как задача о «кости первого хода». Сначала математики нашли решение для трёх игроков, распределив числа от 1 до 18 по трём стандартным шестигранным кубикам, а затем Роберт Форд из Колледжа Далтон Стейт вручную рассчитал вариант с четырьмя 12-гранными костями.
В 2012 году история получила огласку в прессе, и Харшбаргер начал получать множество заказов на изготовление наборов в домашней мастерской. Однако при более глубоком изучении выяснилось, что кости обладают ещё более примечательным свойством: они определяют не только того, кто ходит первым, но и весь порядок ходов, причём каждая возможная последовательность игроков выпадает с равной вероятностью. Это свойство, названное перестановочной справедливостью, стало ориентиром для всех последующих разработок.
Переход от четырёх игроков к пяти оказался колоссальной проблемой. Поиск подходящей конфигурации означал перебор пространства вариантов, превышающего число атомов во Вселенной — порядка 10 в 128-й степени комбинаций. Как признался Харшбаргер в беседе с Live Science, даже при наличии всех вычислительных мощностей и искусственного интеллекта решить задачу методом перебора было невозможно. Требовались математические ухищрения для сокращения поиска, но и они долго не давали практического результата, поскольку найденные варианты оказывались слишком громоздкими для реального производства.
Решение пришло неожиданно в середине 2023 года, когда канадский инженер-программист Пол Мейер связался с Харшбаргером по электронной почте. Изучив закономерности в данных для четырёх игроков, Мейер написал программу, которая быстро нашла конфигурацию пяти 60-гранных костей, удовлетворяющую всем условиям. На каждой из них выгравированы числа от 1 до 300 без повторов, и любой набор игроков может бросить их с равными шансами на победу.
В честь этого достижения Харшбаргер собственноручно изготовил пять гигантских деревянных копий этих многогранников из разных пород древесины — сосны, тополя, дуба, ореха и красного дерева. Скульптуры заняли постоянное место в новом здании математического факультета Обернского университета, открывшемся этой осенью. По словам автора, цель проекта — сделать математику наглядной и увлекательной, показав, что даже самые интересные задачи могут быть просты для понимания, но сложны для решения.